FUNCIONES INVERSAS

FUNCIONES INVERSAS

DEFINICIÓN. 

Decimos que una función y = f (x) tiene función inversa en el intervalo 1 si se verifican las dos condiciones siguientes

(1).  f (x) está definida en todo punto x de 1.

(2). para cada valor y, que la función f (x) toma en el intervalo hoy exactamente un

X, en 1 tal que f (x 0) = y 0.

Cuando las condiciones (1) y (2) se cumplen, se define la función x = f a la menos 1(y) se le llama a la función inversa de f (x) en el intervalo 1, mediante la siguiente regla:

Para cada valor y de la función f (x) en el intervalo, escribimos

x = f-1 (y) si y sólo si y = f(x), con x en 1. 

NOTA.

1) Una función puede tener inversa o no en un intervalo.

2) Supongamos que tratamos de determinar si la función y = f (z) tiene inversa en un intervalo

En muchos casos es posible resolver la ecuación expresando x en términos de y en forma explícita.

Si resulta entonces que hay exactamente un valor de x para cada valor de y, la función dada admite inversa, la cual es dada por la expresión obtenida para x. Por otra parte, si hay dos o más valores de x para algún valor de y, la función dada no admite inversa en el intervalo dado.

En otros casos no es posible resolver explícita-mente la ecuación (A) para x en términos de y, como por ejemplo, cuando se trata de las funciones trigonométricas.

Veremos entonces qué condiciones muy simples, tales como que la derivada de la función sea no nula en todo punto, garantizan la existencia de la función inversa en el intervalo.

TEOREMA.  

Sea y = f (x) una función continua y creciente en un intervalo cerrado

[a, b] . Entonces

1) f (x) tiene inversa x = f -'(y) en el intervalo dado ;

2) f -'(y) estA definida en el intervalo cerrado [A, B] , donde  A=f(a) Y B=f(b);

3) f a la menos 1 (y) es continua y creciente en [A, B] .

FUNCIÓN INYECTIVA

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:

∀a,b∈Domf , si f(a)= f(b)⇒a=b

Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Dom_f, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

Inyectiva vs no inyectiva

A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.

No debes confundir la prueba de la recta vertical, utilizada para saber si una gráfica corresponde a una función, con la prueba de la recta horizontal, utilizada para saber si una función es inyectiva.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:

∀y∈Codf ∃x∈Domf / f(x)=y

Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

Las funciones reales son sobreyectivas cuando Rec_f=ℝ, ya que, por definición, en ellas Cod_f=ℝ.

Sobreyectiva vs no sobreyectiva

A la izquierda, una función sobreyectiva. Como tal, el codominio y el recorrido coinciden. O, dicho de manera más gráfica, todos los elementos del codominio reciben flechas. A la derecha, una función no sobreyectiva. En este caso hay elementos del codominio que no están incluidos en el recorrido. Observa, además, que ambas funciones son no inyectivas, pues ambas cuentan con elementos en el recorrido que reciben más de una flecha.

Por tanto, si te piden una demostración de que una función real es sobreyectiva, puedes hallar la imagen de dicha función. Si la imagen es el conjunto de los reales, la función es sobreyectiva. En caso contrario, no.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente:

∀y∈Codf ∃!x∈Domf / f(x)=y

Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

Biyectiva vs no biyectiva

A la izquierda, una función biyectiva. Observa que cada elemento del recorrido recibe una (y solo una) flecha, con lo que el número de elementos del dominio debe coincidir con el número de elementos del recorrido. En la ilustración superior derecha, una función que no es inyectiva, y por tanto tampoco biyectiva. En la ilustración inferior derecha, una función que no es sobreyectiva, y por tanto tampoco biyectiva.

Definición: función inversa. Función, generalmente escrita como f-1, que invierte exactamente la representación producida por una función f dada. ... Por ejemplo, f(x) = x1/3 y g(x) = x3 son funciones inversas, porque g(x) siempre invierte exactamente la representación producida por f(x).

FUNCIÓN ARCO
EJEMPLO DE LA FUNCIÓN ARCOSENO
El arcoseno es la función inversa del seno y es el arco cuyo seno es el número x. 
El arcoseno y el seno son funciones inversas, por tanto su composición es la función identidad, también se puede escribir como: sen^-1 o sin^-1 en las calculadoras.

En trigonometria está definido como la función inversa del seno de un ángulo. Si tenemos: , su significado geométrico es el arco cuyo seno es alfa.La función seno no es inyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Al restringir su dominio en ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$ se obtiene una función biyectiva y por tanto con inversa.