lunes, 19 de noviembre de 2018

Daniel Alejandro Delgado Caicedo

Grado once

Matemáticas

Docente, German Rueda

DILATACIONES Y CONTRACCIONES DE FUNCIONES

  Ø  Una función además de trasladarse, se puede alterar ya sea dilatándose o contrayéndose.

   DILATACIÓN EN EL EJE Y:

   

  Se tiene la función mostrada.  

   

     F(X)=

   

v

  Al multiplicar por 2 la función, el resultado es el siguiente:

       

    2F(x)=

    

   Cada una de las alturas se duplica, como positivas al igual que las negativas. las intersecciones con el eje x se mantiene ya que en esos puntos la altura es 0.

   CONTRACCIÓN EN EL EJE Y:

    Se tiene la función mostrada.  

   

     F(X)=

    Al multiplicar por una constante positiva menor a 1, por ejemplo 1/2, el resultado es el siguiente:

      

      1/2F(x)=

Las alturas originales, en este caso se dividen a la mitas, obtienen la mitad de su valor. Igualmente en las intersecciones con el eje x su valor no cambia ya que su valor de altura es igual a 0.

   CONTRACCIÓN EN EL EJE X:

Se tiene la función mostrada.  

   

     F(X)=

Al multiplicar por 2 x, obtenemos el siguiente resultado:

F(2x)=

Los x de la función, en este caso, se desplazan hacia la mitad de su distancias original, y las altras conservan su valor con respecto al eje Y.

   DILATACIÓN EN EL EJE X:

Se tiene la función mostrada.  

   

     F(X)=

Al multiplicarla por una constante positiva menor que 1, en es este ejemplo 1/2, el resultado es el siguiente:

F(1/2x)=

Los 0 de x duplican su longitud al doble de la original, igualmente las alturas en el punto de vista del eje y permanecen iguales.

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Juan Fernando Angulo Salvador
Grado 11
Matemáticas

TRASLACIÓN DE FUNCIONES

Las traslaciones son un tipo de transformación rígida (que crea una imagen que es congruente con la figura original) de funciones, en la que se modifica la posición de la gráfica de una función, puede ser un desplazamiento hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda.

Traslaciones verticales

suponiendo que k > 0

y = f(x) + k → desplaza la gráfica de la función k unidades hacia arriba.

y = f(x) - k → desplaza la gráfica de la función k unidades hacia abajo.

Imagen tomada de "https://matematicaspr.com/l2dj/blog/transformaciones-de-funciones"

Traslaciones horizontales

suponiendo que h > 0

y = f(x - h) → desplaza la gráfica de la función h unidades hacia la derecha.

y = f(x + k) → desplaza la gráfica de la función h unidades hacia la izquierda.

Imagen tomada de "https://matematicaspr.com/l2dj/blog/transformaciones-de-funciones"

Lunes, 19 de Noviembre de 2018

REFLEXIONES

ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS

PROFESOR: GERMÁN RUEDA

POR: MARIA ISABEL RAMIREZ
GRADO ONCE

¿QUÉ SON LAS REFLEXIONES?

Son transformaciones geométricas o funcionales que se realizan dentro del plano cartesiano

Una retrospección entre dos imágenes.

La recta por medio de la cual se refleja un objeto, es llamada EJE DE REFLEXIÓN

El EJE AXIAL, es la llamada simetría o rotación alrededor de un eje específico. 

La imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección:

                                                         

                                                                      [1]

Los puntos de la recta reflejados entre sí, siempre están a la misma distancia del eje de reflexión

Su objeto y su reflexión son congruentes entre sí.

Para nombrar al eje reflejado se utilizan (´) ejemplo;

[2]

La figura original es ABC y la imagen reflejada es A'B'C'

En la Rotación siempre se mantiene el sentido de la figura:

En términos matemáticos: Si un objeto reflejado es reflejado de nuevo, el objeto resultante es consiente con el objeto original.

VIDEOs RECOMENDADOs: 

                               

CIBERGRAFÍA: 

https://es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-transformations-congruence/basic-geo-reflections/a/reflecting-shapes

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/reflexiones.html

libro guia: avanza 11

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[1] http://diccio-mates.blogspot.com/2009/08/reflexion-de-funcion-cuadratica.html

[2] http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/reflexiones.html

Función biyectiva

                                                           FUNCIÓN BIYECTIVA:


¿QUÉ SIGNIGNIFICA?

Es una función que es tanto inyectiva como sobreyectiva.
todos los elementos del conjunto de salida (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (y), y a cada elemento del conjunto de llegada (y) le corresponde un elemento del conjunto de salida (x).
- para todo y de Y, existe un único x de X tal que:
f(x)=y 














NOTA: En toda función se debe tener un conjunto de partida o dominio y un conjunto de llegada o contra domino.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN BIYECTIVA:

2.CARDIDALIDAD:

Es cuando se tienen dos conjuntos y no sobra ningún elemento en ninguno.

2. Cuando cada elemento del primero conjunto le corresponde un elemento del segundo conjunto.

EJEMPLO:

En una fundación de niños se hizo una conferencia sobre el cuidado de los niños, el ambiente en el cual seria mejor para ellos y la seguridad del lugar, el expositor hace entrar a todos los asistentes y les dice que tomen asiento, el expositor encuentra una biyectividad entre los asistentes y las sillas, puesto que cada asistente tenia una silla.

Para hacer esta afirmación con tanta seguridad el expositor tuvo que tener en cuenta lo siguiente:

1. Que cada asistente estuviera sentado.
2. Que ningún asistente se encontrara de pie.
3. Que ningún asistente ocupara mas de una silla
4. Que no se encontrara ninguna silla vacía. 

REPRESENTACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO:

Muchas gracias por su atención.

                                                                                    Maria del mar Donneys Galaraza
                                                                                  
                                                                                    Grado: 11
                                                                           
                                                                                    Materia: Matemáticas. 
                                                                                    
                           

FUNCIÓN INYECTIVA

FUNCIÓN INYECTIVA 

Como anteriormente se ha dicho se conoce como función a la relación entre dos conjuntos, en el cual a cada elemento del conjunto (X), se le asigna solo un elemento del conjunto (Y) o ninguno.
La función inyectiva también es conocida como función "uno a uno" ya que para que esto se presente debe ser que todos los elementos del conjunto (Y), le pertenece un elemento diferente del conjunto (X).  Al conjunto X, se puede denominar como dominio y el conjunto Y se puede denominar como condominio.

casos donde se aplica el concepto de función inyectiva 

Como se puede observar en la imagen, a cada elemento del conjunto (Y) tiene como máximo un solo elemento del conjunto (X), la expresión de una función inyectiva es: f : x = y.
 En mejores términos, una función es inyectiva si:
  Si f(X) = f(Y) lo que significa que X = Y. 
 El dominio de la función inyectiva se limita a los números reales positivos.

Otra forma de comprobar que esta función se cumple es si al trazar una linea horizontal en el plano cartesiano, la gráfica tiene un solo corte en el eje Y.

 Prueba geométrica 

 Un ejemplo de la funcion inyectiva es: f(X) =2X + 1.
f(x) = f(y)              

2x+1 = 2y+1    
 2x = 2y     
 x=y











cibergrafia: 
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/inyectiva.html
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-inyectiva/
https://definicion.de/funcion-inyectiva/

imágenes sacadas:
https://www.google.com.co/search?rlz=1C1GGRV_enCO751CO751&biw=1366&bih=608&tbm=isch&sa=1&ei=EEDzW7PSGMHXzwKqtJGwAQ&q=FUNCION+INYECTIVA&oq=FUNCION+INYECTIVA&gs_l=img.3...0.0..1015792...0.0..0.0.0.......0......gws-wiz-img.hcDxFWtC1TE


Nombre: Nathalia Andrea García Maldonado.
Grado: Once.
Asignatura: Matemáticas.
Fecha: Lunes, 19 de noviembre de 2018.
Docente: Germán Rueda

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Nombre: Laura García Zambrano.
Grado: Once.
Asignatura: Fisica.
Fecha: Lunes, 19 de noviembre de 2018.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

La función

 sobreyectiva o suprayectiva , es una función en la cual cada Y debe tener un X  como mínimo. por lo cual podemos afirmar que : f(x)= y 

podemos detectar que una función es sobreyectiva, por que cada uno de los elementos que se encuentran en el rango , son la imagen, de uno o mas elementos del dominio de esta misma función. también podemos decir que una función es sobreyectiva si su recorrido es el conjunto final de Y.

como podemos observar la imagen de la derecha NO es sobreyectiva debido que no todos los Y tienen un valor en X como por ejemplo: los puntos 2 y 5.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN SOBREYECTIVA:

- tiene dominio de la función  el cual es el grupo de valores que puede tomar la variable independiente.
.- la imagen de la función tiene  crecimiento, creciente cuando al aumentar X la Y tambien aumenta y decreciente cuando al aumentar el valor de X la Y disminuye.

OTROS NOMBRES:
piyectiva, suprayectiva,​ suryectiva, exhaustiva​ o subyectiva

FUENTES:
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva
 https://www.euston96.com/funcion-sobreyectiva/

imagen tomada de :https://www.matematicas10.net/2017/04/ejemplos-de-funcion-sobreyectiva.html

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Nombre: Carlos Andrés Betancourth Duque.
Grado: Undécimo.
Asignatura: Fisica.
Fecha: Sábado, 17 de noviembre de 2017.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si se tiene dos o más funciones que están contenidas una dentro de otra, se le llama funciones compuestas. Su expresión general es la siguiente:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Para entender de una manera sencilla, se explica como el valor de la función compuesta en x es igual a la función f evaluada en g(x).

Propiedades de la composición de funciones:

Asociativa: Dadas tres funciones cualesquiera f(x), g(x) y h(x) se cumple que ho(gof) = (hog)of.

Conmutativa: La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, gof y fog son en general dos funciones distintas.

Función de identidad: La función i(x) = a que hace corresponder a cada número real con él mismo, al componerla con cualquier función f(x) da de resultado f(x). Además i(x) conmuta con todas las funciones, por tanto i(x) es el elemento neutro de la composición de funciones.

  

Ejemplo:

Sean las funciones:

1. Calcular (f o g) (x)

2. Calcular (g o f) (x)